转自:https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/78348753
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上节课我们主要介绍了如何建立一个实用的深度学习神经网络。包括Train/Dev/Test sets的比例选择，Bias和Variance的概念和区别：Bias对应欠拟合，Variance对应过拟合。接着，我们介绍了防止过拟合的两种方法：L2 regularization和Dropout。然后，介绍了如何进行规范化输入，以加快梯度下降速度和精度。然后，我们介绍了梯度消失和梯度爆炸的概念和危害，并提出了如何使用梯度初始化来降低这种风险。最后，我们介绍了梯度检查，来验证梯度下降算法是否正确。本节课，我们将继续讨论深度神经网络中的一些优化算法，通过使用这些技巧和方法来提高神经网络的训练速度和精度。
1. Mini-batch gradient descent
之前我们介绍的神经网络训练过程是对所有m个样本，称为batch，通过向量化计算方式，同时进行的。如果m很大，例如达到百万数量级，训练速度往往会很慢，因为每次迭代都要对所有样本进行进行求和运算和矩阵运算。我们将这种梯度下降算法称为Batch Gradient Descent。
为了解决这一问题，我们可以把m个训练样本分成若干个子集，称为mini-batches，这样每个子集包含的数据量就小了，例如只有1000，然后每次在单一子集上进行神经网络训练，速度就会大大提高。这种梯度下降算法叫做Mini-batch Gradient Descent。
假设总的训练样本个数m=5000000，其维度为(nx,m)(nx,m)。将其分成5000个子集，每个mini-batch含有1000个样本。我们将每个mini-batch记为X{t}X{t}，其维度为(nx,1000)(nx,1000)。相应的每个mini-batch的输出记为Y{t}Y{t}，其维度为(1,1000)(1,1000)，且t=1,2,?,5000t=1,2,?,5000。
这里顺便总结一下我们遇到的神经网络中几类字母的上标含义：
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X(i)X(i)?：第i个样本
-
Z[l]Z[l]：神经网络第ll层网络的线性输出
-
X{t},Y{t}X{t},Y{t}：第t组mini-batch
Mini-batches Gradient Descent的实现过程是先将总的训练样本分成T个子集（mini-batches），然后对每个mini-batch进行神经网络训练，包括Forward Propagation，Compute Cost Function，Backward Propagation，循环至T个mini-batch都训练完毕。
fort=1,?,T{fort=1,?,T{
Forward?PropagationForward?Propagation
ComputeCostFunctionComputeCostFunction
BackwardPropagationBackwardPropagation
W:=W?α?dWW:=W?α?dW
b:=b?α?dbb:=b?α?db
}}
经过T次循环之后，所有m个训练样本都进行了梯度下降计算。这个过程，我们称之为经历了一个epoch。对于Batch Gradient Descent而言，一个epoch只进行一次梯度下降算法；而Mini-Batches Gradient Descent，一个epoch会进行T次梯度下降算法。
值得一提的是，对于Mini-Batches Gradient Descent，可以进行多次epoch训练。而且，每次epoch，最好是将总体训练数据重新打乱、重新分成T组mini-batches，这样有利于训练出最佳的神经网络模型。
2. Understanding mini-batch gradient descent
Batch gradient descent和Mini-batch gradient descent的cost曲线如下图所示：
对于一般的神经网络模型，使用Batch gradient descent，随着迭代次数增加，cost是不断减小的。然而，使用Mini-batch gradient descent，随着在不同的mini-batch上迭代训练，其cost不是单调下降，而是受类似noise的影响，出现振荡。但整体的趋势是下降的，最终也能得到较低的cost值。
之所以出现细微振荡的原因是不同的mini-batch之间是有差异的。例如可能第一个子集(X{1},Y{1})(X{1},Y{1})是好的子集，而第二个子集(X{2},Y{2})(X{2},Y{2})包含了一些噪声noise。出现细微振荡是正常的。
如何选择每个mini-batch的大小，即包含的样本个数呢？有两个极端：如果mini-batch size=m，即为Batch gradient descent，只包含一个子集为(X{1},Y{1})=(X,Y)(X{1},Y{1})=(X,Y)；如果mini-batch size=1，即为Stachastic gradient descent，每个样本就是一个子集(X{1},Y{1})=(x(i),y(i))(X{1},Y{1})=(x(i),y(i))，共有m个子集。
我们来比较一下Batch gradient descent和Stachastic gradient descent的梯度下降曲线。如下图所示，蓝色的线代表Batch gradient descent，紫色的线代表Stachastic gradient descent。Batch gradient descent会比较平稳地接近全局最小值，但是因为使用了所有m个样本，每次前进的速度有些慢。Stachastic gradient descent每次前进速度很快，但是路线曲折，有较大的振荡，最终会在最小值附近来回波动，难以真正达到最小值处。而且在数值处理上就不能使用向量化的方法来提高运算速度。
实际使用中，mini-batch size不能设置得太大（Batch gradient descent），也不能设置得太小（Stachastic gradient descent）。这样，相当于结合了Batch gradient descent和Stachastic gradient descent各自的优点，既能使用向量化优化算法，又能叫快速地找到最小值。mini-batch gradient descent的梯度下降曲线如下图绿色所示，每次前进速度较快，且振荡较小，基本能接近全局最小值。
一般来说，如果总体样本数量m不太大时，例如m≤2000m≤2000，建议直接使用Batch gradient descent。如果总体样本数量m很大时，建议将样本分成许多mini-batches。推荐常用的mini-batch size为64,128,256,512。这些都是2的幂。之所以这样设置的原因是计算机存储数据一般是2的幂，这样设置可以提高运算速度。
3. Exponentially weighted averages
该部分我们将介绍指数加权平均（Exponentially weighted averages）的概念。
举个例子，记录半年内伦敦市的气温变化，并在二维平面上绘制出来，如下图所示：
看上去，温度数据似乎有noise，而且抖动较大。如果我们希望看到半年内气温的整体变化趋势，可以通过移动平均（moving average）的方法来对每天气温进行平滑处理。
例如我们可以设V0=0V0=0，当成第0天的气温值。
第一天的气温与第0天的气温有关：
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V1=0.9V0+0.1θ1V1=0.9V0+0.1θ1
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第二天的气温与第一天的气温有关：
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V2===0.9V1+0.1θ20.9(0.9V0+0.1θ1)+0.1θ20.92V0+0.9?0.1θ1+0.1θ2V2=0.9V1+0.1θ2=0.9(0.9V0+0.1θ1)+0.1θ2=0.92V0+0.9?0.1θ1+0.1θ2
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第三天的气温与第二天的气温有关：
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V3===0.9V2+0.1θ30.9(0.92V0+0.9?0.1θ1+0.1θ2)+0.1θ30.93V0+0.92?0.1θ1+0.9?0.1θ2+0.1θ3V3=0.9V2+0.1θ3=0.9(0.92V0+0.9?0.1θ1+0.1θ2)+0.1θ3=0.93V0+0.92?0.1θ1+0.9?0.1θ2+0.1θ3
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即第t天与第t-1天的气温迭代关系为：
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Vt==0.9Vt?1+0.1θt0.9tV0+0.9t?1?0.1θ1+0.9t?2?0.1θ2+?+0.9?0.1θt?1+0.1θtVt=0.9Vt?1+0.1θt=0.9tV0+0.9t?1?0.1θ1+0.9t?2?0.1θ2+?+0.9?0.1θt?1+0.1θt
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经过移动平均处理得到的气温如下图红色曲线所示：
这种滑动平均算法称为指数加权平均（exponentially weighted average）。根据之前的推导公式，其一般形式为：
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Vt=βVt?1+(1?β)θtVt=βVt?1+(1?β)θt
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上面的例子中，β=0.9β=0.9。ββ值决定了指数加权平均的天数，近似表示为：
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11?β11?β
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例如，当β=0.9β=0.9，则11?β=1011?β=10，表示将前10天进行指数加权平均。当β=0.98β=0.98，则11?β=5011?β=50，表示将前50天进行指数加权平均。ββ值越大，则指数加权平均的天数越多，平均后的趋势线就越平缓，但是同时也会向右平移。下图绿色曲线和黄色曲线分别表示了β=0.98β=0.98和β=0.5β=0.5时，指数加权平均的结果。
这里简单解释一下公式11?β11?β是怎么来的。准确来说，指数加权平均算法跟之前所有天的数值都有关系，根据之前的推导公式就能看出。但是指数是衰减的，一般认为衰减到1e1e就可以忽略不计了。因此，根据之前的推导公式，我们只要证明
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β11?β=1eβ11?β=1e
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就好了。
令11?β=N11?β=N，N>0N>0，则β=1?1Nβ=1?1N，1N<11N<1。即证明转化为：
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(1?1N)N=1e(1?1N)N=1e
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显然，当N>>0N>>0时，上述等式是近似成立的。
至此，简单解释了为什么指数加权平均的天数的计算公式为11?β11?β。
4. Understanding exponetially weighted averages
我们将指数加权平均公式的一般形式写下来：
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Vt==βVt?1+(1?β)θt(1?β)θt+(1?β)?β?θt?1+(1?β)?β2?θt?2+?+(1?β)?βt?1?θ1+βt?V0Vt=βVt?1+(1?β)θt=(1?β)θt+(1?β)?β?θt?1+(1?β)?β2?θt?2+?+(1?β)?βt?1?θ1+βt?V0
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观察上面这个式子，θt,θt?1,θt?2,?,θ1θt,θt?1,θt?2,?,θ1是原始数据值，(1?β),(1?β)β,(1?β)β2,?,(1?β)βt?1(1?β),(1?β)β,(1?β)β2,?,(1?β)βt?1是类似指数曲线，从右向左，呈指数下降的。VtVt的值就是这两个子式的点乘，将原始数据值与衰减指数点乘，相当于做了指数衰减，离得越近，影响越大，离得越远，影响越小，衰减越厉害。
我们已经知道了指数加权平均的递推公式。实际应用中，为了减少内存的使用，我们可以使用这样的语句来实现指数加权平均算法：
Vθ=0Vθ=0
Repeat?{Repeat?{
Get?next?θtGet?next?θt
Vθ:=βVθ+(1?β)θtVθ:=βVθ+(1?β)θt
}}
5. Bias correction in exponentially weighted average
上文中提到当β=0.98β=0.98时，指数加权平均结果如下图绿色曲线所示。但是实际上，真实曲线如紫色曲线所示。
我们注意到，紫色曲线与绿色曲线的区别是，紫色曲线开始的时候相对较低一些。这是因为开始时我们设置V0=0V0=0，所以初始值会相对小一些，直到后面受前面的影响渐渐变小，趋于正常。
修正这种问题的方法是进行偏移校正（bias correction），即在每次计算完VtVt后，对VtVt进行下式处理：
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Vt1?βtVt1?βt
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在刚开始的时候，t比较小，(1?βt)<1(1?βt)<1，这样就将VtVt修正得更大一些，效果是把紫色曲线开始部分向上提升一些，与绿色曲线接近重合。随着t增大，(1?βt)≈1(1?βt)≈1，VtVt基本不变，紫色曲线与绿色曲线依然重合。这样就实现了简单的偏移校正，得到我们希望的绿色曲线。
值得一提的是，机器学习中，偏移校正并不是必须的。因为，在迭代一次次数后（t较大），VtVt受初始值影响微乎其微，紫色曲线与绿色曲线基本重合。所以，一般可以忽略初始迭代过程，等到一定迭代之后再取值，这样就不需要进行偏移校正了。
6. Gradient descent with momentum
该部分将介绍动量梯度下降算法，其速度要比传统的梯度下降算法快很多。做法是在每次训练时，对梯度进行指数加权平均处理，然后用得到的梯度值更新权重W和常数项b。下面介绍具体的实现过程。
原始的梯度下降算法如上图蓝色折线所示。在梯度下降过程中，梯度下降的振荡较大，尤其对于W、b之间数值范围差别较大的情况。此时每一点处的梯度只与当前方向有关，产生类似折线的效果，前进缓慢。而如果对梯度进行指数加权平均，这样使当前梯度不仅与当前方向有关，还与之前的方向有关，这样处理让梯度前进方向更加平滑，减少振荡，能够更快地到达最小值处。
权重W和常数项b的指数加权平均表达式如下：
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- VdW=β?VdW+(1?β)?dWVdW=β?VdW+(1?β)?dW
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- ?
?
Vdb=β?Vdb+(1?β)?dbVdb=β?Vdb+(1?β)?db
?
从动量的角度来看，以权重W为例，VdWVdW可以成速度V，dWdW可以看成是加速度a。指数加权平均实际上是计算当前的速度，当前速度由之前的速度和现在的加速度共同影响。而β<1β<1，又能限制速度VdWVdW过大。也就是说，当前的速度是渐变的，而不是瞬变的，是动量的过程。这保证了梯度下降的平稳性和准确性，减少振荡，较快地达到最小值处。
动量梯度下降算法的过程如下：
On?iteration?t:On?iteration?t:
Compute?dW,?db?on?the?current?mini?batchCompute?dW,?db?on?the?current?mini?batch
VdW=βVdW+(1?β)dWVdW=βVdW+(1?β)dW
Vdb=βVdb+(1?β)dbVdb=βVdb+(1?β)db
W=W?αVdW,?b=b?αVdbW=W?αVdW,?b=b?αVdb
初始时，令VdW=0,Vdb=0VdW=0,Vdb=0。一般设置β=0.9β=0.9，即指数加权平均前10天的数据，实际应用效果较好。
另外，关于偏移校正，可以不使用。因为经过10次迭代后，随着滑动平均的过程，偏移情况会逐渐消失。
补充一下，在其它文献资料中，动量梯度下降还有另外一种写法：
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VdW=βVdW+dWVdW=βVdW+dW
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?
Vdb=βVdb+dbVdb=βVdb+db
?
即消去了dWdW和dbdb前的系数(1?β)(1?β)。这样简化了表达式，但是学习因子αα相当于变成了α1?βα1?β，表示αα也受ββ的影响。从效果上来说，这种写法也是可以的，但是不够直观，且调参涉及到αα，不够方便。所以，实际应用中，推荐第一种动量梯度下降的表达式。
7. RMSprop
RMSprop是另外一种优化梯度下降速度的算法。每次迭代训练过程中，其权重W和常数项b的更新表达式为：
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SW=βSdW+(1?β)dW2SW=βSdW+(1?β)dW2
?
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Sb=βSdb+(1?β)db2Sb=βSdb+(1?β)db2
?
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W:=W?αdWSW?√,?b:=b?αdbSb√W:=W?αdWSW,?b:=b?αdbSb
?
下面简单解释一下RMSprop算法的原理，仍然以下图为例，为了便于分析，令水平方向为W的方向，垂直方向为b的方向。
从图中可以看出，梯度下降（蓝色折线）在垂直方向（b）上振荡较大，在水平方向（W）上振荡较小，表示在b方向上梯度较大，即dbdb较大，而在W方向上梯度较小，即dWdW较小。因此，上述表达式中SbSb较大，而SWSW较小。在更新W和b的表达式中，变化值dWSW√dWSW较大，而dbSb√dbSb较小。也就使得W变化得多一些，b变化得少一些。即加快了W方向的速度，减小了b方向的速度，减小振荡，实现快速梯度下降算法，其梯度下降过程如绿色折线所示。总得来说，就是如果哪个方向振荡大，就减小该方向的更新速度，从而减小振荡。
还有一点需要注意的是为了避免RMSprop算法中分母为零，通常可以在分母增加一个极小的常数εε：
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W:=W?αdWSW?√+ε,?b:=b?αdbSb√+εW:=W?αdWSW+ε,?b:=b?αdbSb+ε
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其中，ε=10?8ε=10?8，或者其它较小值。
8. Adam optimization algorithm
Adam（Adaptive Moment Estimation）算法结合了动量梯度下降算法和RMSprop算法。其算法流程为：
VdW=0,?SdW,?Vdb=0,?Sdb=0VdW=0,?SdW,?Vdb=0,?Sdb=0
On?iteration?t:On?iteration?t:
Cimpute?dW,?dbCimpute?dW,?db
VdW=β1VdW+(1?β1)dW,?Vdb=β1Vdb+(1?β1)dbVdW=β1VdW+(1?β1)dW,?Vdb=β1Vdb+(1?β1)db
SdW=β2SdW+(1?β2)dW2,?Sdb=β2Sdb+(1?β2)db2SdW=β2SdW+(1?β2)dW2,?Sdb=β2Sdb+(1?β2)db2
VcorrecteddW=VdW1?βt1,?Vcorrecteddb=Vdb1?βt1VdWcorrected=VdW1?β1t,?Vdbcorrected=Vdb1?β1t
ScorrecteddW=SdW1?βt2,?Scorrecteddb=Sdb1?βt2SdWcorrected=SdW1?β2t,?Sdbcorrected=Sdb1?β2t
W:=W?αVcorrecteddWScorrecteddW√+ε,?b:=b?αVcorrecteddbScorrecteddb√+εW:=W?αVdWcorrectedSdWcorrected+ε,?b:=b?αVdbcorrectedSdbcorrected+ε
Adam算法包含了几个超参数，分别是：α,β1,β2,εα,β1,β2,ε。其中，β1β1通常设置为0.9，β2β2通常设置为0.999，εε通常设置为10?810?8。一般只需要对β1β1和β2β2进行调试。
实际应用中，Adam算法结合了动量梯度下降和RMSprop各自的优点，使得神经网络训练速度大大提高。
9. Learning rate decay
减小学习因子αα也能有效提高神经网络训练速度，这种方法被称为learning rate decay。
Learning rate decay就是随着迭代次数增加，学习因子αα逐渐减小。下面用图示的方式来解释这样做的好处。下图中，蓝色折线表示使用恒定的学习因子αα，由于每次训练αα相同，步进长度不变，在接近最优值处的振荡也大，在最优值附近较大范围内振荡，与最优值距离就比较远。绿色折线表示使用不断减小的αα，随着训练次数增加，αα逐渐减小，步进长度减小，使得能够在最优值处较小范围内微弱振荡，不断逼近最优值。相比较恒定的αα来说，learning rate decay更接近最优值。
Learning rate decay中对αα可由下列公式得到：
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α=11+decay_rate?epochα0α=11+decay_rate?epochα0
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其中，deacy_rate是参数（可调），epoch是训练完所有样本的次数。随着epoch增加，αα会不断变小。
除了上面计算αα的公式之外，还有其它可供选择的计算公式：
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α=0.95epoch?α0α=0.95epoch?α0
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α=kepoch?√?α0orkt√?α0α=kepoch?α0orkt?α0
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其中，k为可调参数，t为mini-bach number。
除此之外，还可以设置αα为关于t的离散值，随着t增加，αα呈阶梯式减小。当然，也可以根据训练情况灵活调整当前的αα值，但会比较耗时间。
10. The problem of local optima
在使用梯度下降算法不断减小cost function时，可能会得到局部最优解（local optima）而不是全局最优解（global optima）。之前我们对局部最优解的理解是形如碗状的凹槽，如下图左边所示。但是在神经网络中，local optima的概念发生了变化。准确地来说，大部分梯度为零的“最优点”并不是这些凹槽处，而是形如右边所示的马鞍状，称为saddle point。也就是说，梯度为零并不能保证都是convex（极小值），也有可能是concave（极大值）。特别是在神经网络中参数很多的情况下，所有参数梯度为零的点很可能都是右边所示的马鞍状的saddle point，而不是左边那样的local optimum。
类似马鞍状的plateaus会降低神经网络学习速度。Plateaus是梯度接近于零的平缓区域，如下图所示。在plateaus上梯度很小，前进缓慢，到达saddle point需要很长时间。到达saddle point后，由于随机扰动，梯度一般能够沿着图中绿色箭头，离开saddle point，继续前进，只是在plateaus上花费了太多时间。
总的来说，关于local optima，有两点总结：
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只要选择合理的强大的神经网络，一般不太可能陷入local optima
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Plateaus可能会使梯度下降变慢，降低学习速度
值得一提的是，上文介绍的动量梯度下降，RMSprop，Adam算法都能有效解决plateaus下降过慢的问题，大大提高神经网络的学习速度。
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